SmartiMede

Liceo · Matematica · 5° anno

Derivate

Definizione, regole di derivazione e significato geometrico come tan⁡\tan.

Teoria essenzialeFormulario completo9 esercizi

Concetto al volo

Intuizione visiva · da secante a tangente

Questa è una delle intuizioni migliori di tutto il corso: la pendenza istantanea nasce facendo collassare una secante su un punto.

Cosa deve comunicare: Comunicare che la derivata misura la pendenza istantanea come limite di rapporti incrementali.

Teoria essenziale

Pochi blocchi, ma con uno scopo didattico preciso.

La derivata misura la variazione istantanea.

Al liceo conta dominare bene le regole operative.

Formulario completo

Latex pulito, pronto da riconoscere e riusare.

Definizione e regole

Definizione

f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Potenza

(xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1}

Somma

(f+g)′=f′+g′(f+g)'=f'+g'

Prodotto

(fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg'

Quoziente

(fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}

Derivate notevoli

Esponenziale

(ex)′=ex,(ax)′=axln⁡a(e^x)'=e^x,\quad (a^x)'=a^x\ln a

Logaritmo

(ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\frac1x

Seno e coseno

(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x(\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x

9 esercizi a difficoltà crescente

Tre facili, tre medi, tre difficili.

Facili
F1facile

Deriva f(x)=x5f(x)=x^{5}.

Idea guida: Regola di potenza.

F2facile

Deriva f(x)=3x2−4x+7f(x)=3x^{2}-4x+7.

Idea guida: Linea per linea.

F3facile

Deriva f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x.

Idea guida: Derivata notevole.

Medi
M4medio

Deriva f(x)=x2sin⁡xf(x)=x^{2}\sin x.

Idea guida: Prodotto.

M5medio

Deriva f(x)=x+1x−2f(x)=\frac{x+1}{x-2}.

Idea guida: Quoziente.

M6medio

Deriva f(x)=ex+ln⁡xf(x)=e^{x}+\ln x.

Idea guida: Somma di notevoli.

Difficili
D7difficile

Trova la tan⁡\tan a f(x)=x2f(x)=x^{2} nel punto di ascissa 11.

Idea guida: Calcola derivata e punto.

D8difficile

Studia il segno di f′(x)f'(x) per f(x)=x3−3xf(x)=x^{3}-3x.

Idea guida: Fattorizza la derivata.

D9difficile

Determina i punti in cui la tan⁡\tan a f(x)=x3f(x)=x^{3} è orizzontale.

Idea guida: Poni f′(x)=0f'(x)=0.