SmartiMede

Liceo · Matematica · 4° anno

Ellisse e iperbole

Forme canoniche, lettura dei parametri e riconoscimento rapido delle coniche.

Teoria essenzialeFormulario completo9 esercizi

Concetto al volo

Intuizione visiva · due coniche, due idee forti

Ellisse e iperbole si ricordano meglio quando vedi foci, simmetria e forma generale nello stesso sguardo.

Cosa deve comunicare: Comunicare che ellisse e iperbole sono coniche organizzate dai fuochi e dalla simmetria.

Teoria essenziale

Pochi blocchi, ma con uno scopo didattico preciso.

Il primo discriminante è il segno tra i termini quadratici: stesso segno per l'ellisse, segno opposto per l'iperbole.

Dalla forma canonica si leggono subito centro, semiassi e asintoti.

Formulario completo

Latex pulito, pronto da riconoscere e riusare.

Ellisse

Forma canonica

x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

Fuochi

c2=a2−b2c^2=a^2-b^2

Iperbole

Forma canonica

x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

Fuochi

c2=a2+b2c^2=a^2+b^2

Asintoti

y=±baxy=\pm \frac ba x

9 esercizi a difficoltà crescente

Tre facili, tre medi, tre difficili.

Facili
F1facile

Riconosci la conica x29+y24=1\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1.

Idea guida: Stesso segno: ellisse.

F2facile

Riconosci la conica x216−y29=1\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1.

Idea guida: Segno opposto: iperbole.

F3facile

Per x225+y29=1\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1 indica i semiassi.

Idea guida: Leggi i denominatori.

Medi
M4medio

Trova i fuochi dell'ellisse x225+y29=1\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1.

Idea guida: Calcola c2=25−9c^{2}=25-9.

M5medio

Trova gli asintoti di x24−y29=1\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = 1.

Idea guida: Usa y=±(ba)xy=\pm (\frac{b}{a})x.

M6medio

Disegna qualitativamente x29−y2=1\frac{x^{2}}{9} - y^{2} = 1.

Idea guida: Centro nell'origine, vertici su xx.

Difficili
D7difficile

Determina a sapendo che l'iperbole x2a2−y216=1\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{16} = 1 ha asintoto y=(43)xy=(\frac{4}{3})x.

Idea guida: Confronta ba\frac{b}{a}.

D8difficile

Trova b nell'ellisse x225+y2b2=1\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 sapendo che un fuoco dista 44 dall'origine.

Idea guida: Usa c2=a2−b2c^{2}=a^{2}-b^{2}.

D9difficile

Porta 4x2−9y2=364x^{2}-9y^{2}=36 in forma canonica e riconosci la conica.

Idea guida: Dividi per 3636.