SmartiMede

Liceo · Matematica · 4° anno

Equazioni goniometriche

Soluzioni fondamentali, periodicità e riduzione a casi noti.

Teoria essenzialeFormulario completo9 esercizi

Concetto al volo

Intuizione visiva · una stessa onda, tante soluzioni

Le soluzioni goniometriche diventano intuitive quando vedi un’onda che incontra lo stesso livello più volte.

Cosa deve comunicare: Comunicare che un’equazione goniometrica cerca tutti i punti periodici in cui la funzione assume un certo valore.

Teoria essenziale

Pochi blocchi, ma con uno scopo didattico preciso.

Le equazioni goniometriche si risolvono bene quando vengono ridotte a seno, cos⁡\cos o tan⁡\tan di un solo angolo.

La periodicità è parte della soluzione.

Formulario completo

Latex pulito, pronto da riconoscere e riusare.

Casi base

Seno

sin⁡x=sin⁡α⇒x=α+2kπ oppure x=π−α+2kπ\sin x=\sin\alpha \Rightarrow x=\alpha+2k\pi \ \text{oppure}\ x=\pi-\alpha+2k\pi

Coseno

cos⁡x=cos⁡α⇒x=±α+2kπ\cos x=\cos\alpha \Rightarrow x=\pm\alpha+2k\pi

Tangente

tan⁡x=tan⁡α⇒x=α+kπ\tan x=\tan\alpha \Rightarrow x=\alpha+k\pi

9 esercizi a difficoltà crescente

Tre facili, tre medi, tre difficili.

Facili
F1facile

Risolvi sin⁡x=0\sin x=0.

Idea guida: Caso base.

F2facile

Risolvi cos⁡x=1\cos x=1.

Idea guida: Punto di massimo del cos⁡\cos.

F3facile

Risolvi tan⁡x=3\tan x=\sqrt{3}.

Idea guida: Angolo notevole.

Medi
M4medio

Risolvi in [0,2π)[0,2\pi ): sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2}.

Idea guida: Due soluzioni in un giro.

M5medio

Risolvi in [0,2π)[0,2\pi ): 2cosx−1=02cosx-1=0.

Idea guida: Riduci a cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2}.

M6medio

Risolvi sin⁡(2x)=0\sin (2x)=0.

Idea guida: Considera il doppio angolo.

Difficili
D7difficile

Risolvi in [0,2π)[0,2\pi ): 2sin2x−3sinx+1=02sin^{2}x-3sinx+1=0.

Idea guida: Quadratica in sin⁡x\sin x.

D8difficile

Risolvi cos⁡2x=cos⁡x\cos 2x=\cos x.

Idea guida: Usa formule note o sostituzioni.

D9difficile

Risolvi in [0,2π)[0,2\pi ): tan⁡x=2sinx\tan x=2sinx.

Idea guida: Sostituisci tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x} e discuti i casi.