SmartiMede

Liceo · Matematica · 1° anno

Insiemi e logica

Simboli, appartenenza, inclusione, operazioni tra insiemi e traduzione di frasi in linguaggio log⁡ico\log ico.

Teoria essenzialeFormulario completo9 esercizi

Concetto al volo

Intuizione visiva · appartenenza, unione, intersezione

L’idea giusta è vedere gli insiemi come regioni e la log⁡ica\log ica come relazioni tra regioni.

Cosa deve comunicare: Comunicare che la log⁡ica\log ica di base si legge bene quando gli insiemi diventano spazi che si sovrappongono o si escludono.

Teoria essenziale

Pochi blocchi, ma con uno scopo didattico preciso.

Un insieme va letto come una collezione ben definita di oggetti. Prima si capisce quali elementi possono entrare, poi si fanno le operazioni.

In log⁡ica\log ica conviene separare bene implicazione, negazione e connettivi. Molti errori nascono da una lettura troppo verbale.

Formulario completo

Latex pulito, pronto da riconoscere e riusare.

Formule essenziali

Unione

A∪B={x∣x∈A ∨ x∈B}A\cup B=\{x\mid x\in A\ \vee\ x\in B\}

Intersezione

A∩B={x∣x∈A ∧ x∈B}A\cap B=\{x\mid x\in A\ \wedge\ x\in B\}

Differenza

A∖B={x∣x∈A ∧ x∉B}A\setminus B=\{x\mid x\in A\ \wedge\ x\notin B\}

Complementare

Ac=U∖AA^c=U\setminus A

Cardinalità dell'unione

∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|

Logica

De Morgan 1

¬(P∧Q)≡¬P∨¬Q\neg(P\wedge Q)\equiv \neg P\vee \neg Q

De Morgan 2

¬(P∨Q)≡¬P∧¬Q\neg(P\vee Q)\equiv \neg P\wedge \neg Q

9 esercizi a difficoltà crescente

Tre facili, tre medi, tre difficili.

Facili
F1facile

Con A={1,2,3,4}A=\left\{1,2,3,4\right\} e B={3,4,5}B=\left\{3,4,5\right\}, calcola A∪BA\cup B, A∩BA\cap B, A∖BA\setminus B.

Idea guida: Lavora elemento per elemento.

F2facile

Nega correttamente la frase: xx è pari e maggiore di 1010.

Idea guida: Usa De Morgan.

F3facile

Scrivi per proprietà caratteristica l'insieme dei multipli di 33 compresi tra 11 e 2020.

Idea guida: Trasforma la frase in una condizione su xx.

Medi
M4medio

Mostra che {x∈R∣x2=1}={−1,1}\left\{x\in \mathbb{R}\mid x^{2}=1\right\}=\left\{-1,1\right\}.

Idea guida: Usa doppia inclusione.

M5medio

Se ∣A∣=12|A|=12, ∣B∣=9|B|=9, ∣A∩B∣=4|A\cap B|=4, trova ∣A∪B∣|A\cup B|.

Idea guida: Usa la formula della cardinalità.

M6medio

Traduci e nega: “Ogni numero reale positivo ha radice quadrata reale”.

Idea guida: Lavora con quantificatori.

Difficili
D7difficile

Semplifica ¬[(P∨Q)∧(¬P∨R)]\neg [(P\lor Q)\land (\neg P\lor R)].

Idea guida: Applica De Morgan con ordine.

D8difficile

In una classe 1818 studenti fanno calcio, 1111 nuoto, 55 entrambi. Quanti fanno almeno uno sport?

Idea guida: Usa l'unione.

D9difficile

Confronta una proposizione e la sua contronominale.

Idea guida: Sono log⁡icamente\log icamente equivalenti.