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Liceo · Matematica · 5° anno

Integrali

Primitive, integrali immediati, linearità e integrale definito come area orientata.

Teoria essenzialeFormulario completo9 esercizi

Concetto al volo

Intuizione visiva · sommare pezzi piccoli fino all’area

L’integrale prende vita quando vedi rettangoli sempre più fitti cos⁡truire\cos truire l’area sotto una curva.

Cosa deve comunicare: Comunicare che l’integrale accumula contributi infinitesimi fino a dare un totale.

Teoria essenziale

Pochi blocchi, ma con uno scopo didattico preciso.

L'integrale indefinito cerca una primitiva; quello definito misura un'area orientata.

Per il liceo bastano bene integrali immediati, linearità e teorema fondamentale.

Formulario completo

Latex pulito, pronto da riconoscere e riusare.

Integrali immediati

Potenza

∫xn dx=xn+1n+1+C,n≠−1\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1

Esponenziale

∫ex dx=ex+C\int e^x\,dx=e^x+C

Logaritmico

∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C

Trigonometrico

∫cos⁡x dx=sin⁡x+C,∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C\int \cos x\,dx=\sin x+C,\quad \int \sin x\,dx=-\cos x+C

Integrale definito

Teorema fondamentale

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)se F′=f\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\quad \text{se }F'=f

Linearità

∫(af+bg) dx=a∫f dx+b∫g dx\int(af+bg)\,dx=a\int f\,dx+b\int g\,dx

9 esercizi a difficoltà crescente

Tre facili, tre medi, tre difficili.

Facili
F1facile

Calcola ∫x3 dx\int x^{3}\,\mathrm{d}x.

Idea guida: Regola della potenza.

F2facile

Calcola ∫cos⁡x dx\int \cos x \,\mathrm{d}x.

Idea guida: Integrale immediato.

F3facile

Calcola ∫012x dx\int _{0}^{1}2x \,\mathrm{d}x.

Idea guida: Primitiva e valutazione agli estremi.

Medi
M4medio

Calcola ∫(3x2−4) dx\int (3x^{2}-4)\,\mathrm{d}x.

Idea guida: Usa la linearità.

M5medio

Calcola ∫12(1x) dx\int _{1}^{2}(\frac{1}{x})\,\mathrm{d}x.

Idea guida: Usa ln|x|.

M6medio

Trova una primitiva di e^x+sinx.

Idea guida: Somma di immediati.

Difficili
D7difficile

Calcola ∫0πsin⁡x dx\int _{0}^\pi \sin x \,\mathrm{d}x.

Idea guida: Valuta la primitiva agli estremi.

D8difficile

Calcola l'area compresa tra y=xy=x, l'asse xx e le rette x=0x=0, x=2x=2.

Idea guida: Area come integrale definito.

D9difficile

Verifica che F(x)=x33+2xF(x)=\frac{x^{3}}{3}+2x è una primitiva di f(x)=x2+2f(x)=x^{2}+2.

Idea guida: Deriva FF.