SmartiMede

Liceo · Matematica · 5° anno

Limiti

Calcolo di limiti finiti e infiniti, forme indeterminate e tecniche standard.

Teoria essenzialeFormulario completo9 esercizi

Concetto al volo

Intuizione visiva · avvicinarsi da sinistra e da destra

Un limite non guarda solo il punto: osserva cos⁡a\cos a succede mentre ci si avvicina sempre di più.

Cosa deve comunicare: Comunicare che il limite descrive il valore verso cui tende la funzione vicino a un punto, anche senza toccarlo.

Teoria essenziale

Pochi blocchi, ma con uno scopo didattico preciso.

Sostituzione diretta, scomposizione, razionalizzazione e confronto dei gradi sono le quattro mosse base.

Le forme indeterminate non si valutano: si trasformano.

Formulario completo

Latex pulito, pronto da riconoscere e riusare.

Algebra dei limiti

Somma

lim⁡(f+g)=lim⁡f+lim⁡g\lim(f+g)=\lim f+\lim g

Prodotto

lim⁡(fg)=(lim⁡f)(lim⁡g)\lim(fg)=(\lim f)(\lim g)

Quoziente

lim⁡fg=lim⁡flim⁡gse lim⁡g≠0\lim\frac fg=\frac{\lim f}{\lim g}\quad \text{se }\lim g\neq 0

Limiti notevoli

Trigonometrico

lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

Razionali all'infinito

lim⁡x→∞anxn+⋯bmxm+⋯ dipende dai gradi n,m\lim_{x\to\infty}\frac{a_nx^n+\cdots}{b_mx^m+\cdots}\ \text{dipende dai gradi }n,m

9 esercizi a difficoltà crescente

Tre facili, tre medi, tre difficili.

Facili
F1facile

Calcola lim⁡x→2(3x−1)\lim_{x\to 2} (3x-1).

Idea guida: Sostituzione diretta.

F2facile

Calcola lim⁡x→1x2−1x−1\lim_{x\to 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}.

Idea guida: Scomponi il numeratore.

F3facile

Calcola lim⁡x→∞2x+1x\lim_{x\to \infty } \frac{2x+1}{x}.

Idea guida: Confronto dei gradi.

Medi
M4medio

Calcola lim⁡x→∞3x2−1x2+4x\lim_{x\to \infty } \frac{3x^{2}-1}{x^{2}+4x}.

Idea guida: Rapporto dei coefficienti principali.

M5medio

Calcola lim⁡x→0sin⁡xx\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}.

Idea guida: Limite notevole.

M6medio

Calcola lim⁡x→01+x−1x\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}.

Idea guida: Razionalizza.

Difficili
D7difficile

Calcola lim⁡x→∞(x2+x−x)\lim_{x\to \infty } (\sqrt{x^{2}+x}-x).

Idea guida: Razionalizza la differenza.

D8difficile

Calcola lim⁡x→01−cos⁡xx2\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}.

Idea guida: Usa una formula trigonometrica o notevole derivato.

D9difficile

Calcola lim⁡x→−2x2−4x+2\lim_{x\to -2} \frac{x^{2}-4}{x+2}.

Idea guida: Scomponi e semplifica.