SmartiMede

Liceo · Matematica · 3° anno

Numeri complessi

Unità immaginaria, forma algebrica, coniugato, modulo e operazioni di base.

Teoria essenzialeFormulario completo9 esercizi

Concetto al volo

Intuizione visiva · un numero come punto nel piano

Il numero complesso prende forma quando lo vedi come coordinata reale ++ immaginaria e come vettore dall’origine.

Cosa deve comunicare: Comunicare che a+bia + bi è un punto nel piano complesso, con modulo e direzione.

Teoria essenziale

Pochi blocchi, ma con uno scopo didattico preciso.

I complessi estendono i reali introducendo i con i2=−1i^{2}=-1.

Alla base c'è sempre la scrittura z=a+biz=a+bi.

Formulario completo

Latex pulito, pronto da riconoscere e riusare.

Definizioni

Unità immaginaria

i2=−1i^2=-1

Forma algebrica

z=a+biz=a+bi

Coniugato

z‾=a−bi\overline z=a-bi

Modulo

∣z∣=a2+b2|z|=\sqrt{a^2+b^2}

Operazioni

Prodotto

(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

Quoziente

a+bic+di=(a+bi)(c−di)c2+d2\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}

9 esercizi a difficoltà crescente

Tre facili, tre medi, tre difficili.

Facili
F1facile

Calcola i5i^{5}.

Idea guida: Riduci modulo 44.

F2facile

Somma (2+3i)+(1−5i)(2+3i)+(1-5i).

Idea guida: Somma parti reali e immaginarie.

F3facile

Trova il coniugato di 4−7i4-7i.

Idea guida: Cambia il segno della parte immaginaria.

Medi
M4medio

Calcola (1+2i)(3−i)(1+2i)(3-i).

Idea guida: Usa il prodotto.

M5medio

Calcola ∣3−4i∣|3-4i|.

Idea guida: Formula del modulo.

M6medio

Semplifica 1+i1−i\frac{1+i}{1-i}.

Idea guida: Moltiplica per il coniugato.

Difficili
D7difficile

Risolvi z+z‾=6z+\overline{z}=6 con z=a+biz=a+bi.

Idea guida: Somma un complesso e il suo coniugato.

D8difficile

Trova zz sapendo ∣z∣=5|z|=5 e parte reale 44.

Idea guida: Usa la formula del modulo.

D9difficile

Mostra che z⋅z‾=∣z∣2z\cdot \overline{z}=|z|^{2}.

Idea guida: Sviluppa il prodotto.