SmartiMede

Liceo · Matematica · 2° anno

Radicali

Definizione, semplificazione, condizioni di esistenza e razionalizzazione.

Teoria essenzialeFormulario completo9 esercizi

Concetto al volo

Intuizione visiva · il radicale come misura

La radice quadrata diventa più chiara se la immagini come lunghezza del lato di un quadrato di area nota.

Cosa deve comunicare: Comunicare che a\sqrt{a} non è un trucco simbolico ma una misura reale: il lato del quadrato di area a.

Teoria essenziale

Pochi blocchi, ma con uno scopo didattico preciso.

Le radici pari richiedono radicando non negativo; le dispari hanno un dominio più ampio.

Semplificare un radicale significa estrarre fattori perfetti o usare indici comuni.

Formulario completo

Latex pulito, pronto da riconoscere e riusare.

Proprietà

Prodotto

ab=a b(a,b≥0)\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b\quad (a,b\ge 0)

Quoziente

ab=ab(a≥0, b>0)\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\quad (a\ge 0,\ b>0)

Valore assoluto

a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a|

Razionalizzazione

Denominatore semplice

1a=aa\frac1{\sqrt a}=\frac{\sqrt a}{a}

Coniugato

1a+b⋅a−ba−b=a−ba2−b\frac1{a+\sqrt b}\cdot\frac{a-\sqrt b}{a-\sqrt b}=\frac{a-\sqrt b}{a^2-b}

9 esercizi a difficoltà crescente

Tre facili, tre medi, tre difficili.

Facili
F1facile

Semplifica 72\sqrt{72}.

Idea guida: Estrai un quadrato perfetto.

F2facile

Trova le C.E. di 2x−5\sqrt{2x-5}.

Idea guida: Imponi il radicando ≥0\ge 0.

F3facile

Razionalizza 35\frac{3}{\sqrt{5}}.

Idea guida: Moltiplica sopra e sotto per 5\sqrt{5}.

Medi
M4medio

Semplifica 12x2\sqrt{12x^{2}}.

Idea guida: Compare ∣x∣|x|.

M5medio

Razionalizza 12+3\frac{1}{2+\sqrt{3}}.

Idea guida: Usa il coniugato.

M6medio

Riduci a indice comune x3\sqrt[3]{x} e x\sqrt{x}.

Idea guida: m.c.m. degli indici.

Difficili
D7difficile

Risolvi x+4=x\sqrt{x+4}=x.

Idea guida: Dominio e quadrato di entrambi i membri.

D8difficile

Semplifica (x−1)2\sqrt{(x-1)^{2}}.

Idea guida: Serve il valore assoluto.

D9difficile

Verifica se a+b=a+b\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b} vale sempre.

Idea guida: Basta un controesempio.