SmartiMede

Liceo · Matematica · 3° anno

Trigonometria: formule operative

Formulario completo con archi associati, somma e differenza, duplicazione, bisezione, Werner e prostaferesi.

Teoria essenzialeFormulario completo9 esercizi

Concetto al volo

Intuizione visiva · dal cerchio nasce l’onda

La trigonometria operativa funziona davvero quando percepisci il ponte tra rotazione e periodicità.

Cosa deve comunicare: Comunicare che le formule trigonometriche nascono dal legame tra movimento circolare e onda sin⁡usoidale\sin usoidale.

Teoria essenziale

Pochi blocchi, ma con uno scopo didattico preciso.

Questo topic riprende la struttura del PDF allegato: identità fondamentali, formule operative, formule da riconoscere al volo e 99 esercizi a difficoltà crescente.

Le formule vanno lette per famiglie: sommadifferenza\frac{somma}{differenza}, duplicazionebisezione\frac{duplicazione}{bisezione}, Wernerprostaferesi\frac{Werner}{prostaferesi}.

Formulario completo

Latex pulito, pronto da riconoscere e riusare.

Identità fondamentali

Relazione pitagorica

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1

Tangente

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x, cos⁡x≠0\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\ \cos x\neq 0

Con tangente

1+tan⁡2x=1cos⁡2x1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}

Somma e differenza

Seno

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta

Coseno

cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta

Tangente

tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}

Duplicazione e bisezione

Seno doppio

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x=2\sin x\cos x

Coseno doppio

cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x=1−2sin⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1

Tangente doppia

tan⁡2x=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}

Seno metà angolo

sin⁡x2=±1−cos⁡x2\sin\frac x2=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}

Coseno metà angolo

cos⁡x2=±1+cos⁡x2\cos\frac x2=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}

Werner e prostaferesi

Somma→prodotto

sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}

Prodotto→somma

sin⁡αsin⁡β=cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)2\sin\alpha\sin\beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2}

9 esercizi a difficoltà crescente

Tre facili, tre medi, tre difficili.

Facili
F1facile

Riduci: sin⁡(π−α)\sin (\pi -\alpha ), cos⁡(π2+α)\cos (\frac{\pi}{2}+\alpha ), tan⁡(2π−α)\tan (2\pi -\alpha ), sin⁡(−α)\sin (-\alpha ).

Idea guida: Usa archi associati e parità.

F2facile

Dimostra che sin⁡(x+π2)=cos⁡x\sin (x+\frac{\pi}{2})=\cos x e cos⁡(x+π2)=−sin⁡x\cos (x+\frac{\pi}{2})=-\sin x.

Idea guida: Usa le formule di somma.

F3facile

Semplifica [sin⁡(x+β)+sin⁡(x−β)]/[cos⁡(x+β)+cos⁡(x−β)][\sin (x+\beta )+\sin (x-\beta )]/[\cos (x+\beta )+\cos (x-\beta )].

Idea guida: Werner su numeratore e denominatore.

Medi
M4medio

Risolvi in [0,2π)[0,2\pi ): sin⁡(x+π6)=cos⁡x\sin (x+\frac{\pi}{6})=\cos x.

Idea guida: Confronta con sin⁡(π2−x)\sin (\frac{\pi}{2}-x).

M5medio

Verifica 1−cos⁡2xsin⁡2x=tan⁡x\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\tan x e specifica il dominio.

Idea guida: Usa le formule di duplicazione.

M6medio

Sapendo tan⁡α=2\tan \alpha =2 e tan⁡β=13\tan \beta =\frac{1}{3}, calcola tan⁡(α+β)\tan (\alpha +\beta ).

Idea guida: Usa la formula di somma.

Difficili
D7difficile

Ricava sin⁡3x=3sinx−4sin3x\sin 3x=3sinx-4sin^{3}x.

Idea guida: Usa sin⁡(2x+x)\sin (2x+x).

D8difficile

Risolvi in [0,2π)[0,2\pi ): sin⁡x+sin⁡3x=0\sin x+\sin 3x=0.

Idea guida: Trasforma la somma in prodotto.

D9difficile

Risolvi in [0,2π)[0,2\pi ): cos⁡2x=sin⁡x\cos 2x=\sin x.

Idea guida: Riduci a una quadratica in sin⁡x\sin x.